વિકલ સમીકરણ $(x^2+1) \frac{dy}{dx} + xy = x^3$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $(x^2 - 1)\frac{dy}{dx} + 2xy = x$ નો સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $f:[0, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એક વિકલનીય વિધેય છે જેથી તમામ $x \in [0, \infty)$ માટે $f(x) = 1 - 2x + \int_0^x e^{x-t} f(t) dt$ થાય છે. તો $y = f(x)$ અને યામ અક્ષો દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $x^2 \frac{dy}{dx} \cos \frac{1}{x} - y \sin \frac{1}{x} = -1$ નો ઉકેલ શોધો,જ્યાં $x \rightarrow \infty$ ત્યારે $y \rightarrow -1$ થાય છે.

વિકલ સમીકરણ $(1 + y^2)dx - (\tan^{-1} y - x)dy = 0$ માટે સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

ધારો કે $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $(1+e^x) y^{\prime}+y e^x=1$ નો ઉકેલ છે. જો $y(0)=2$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $y(-4)=0$
$(B)$ $y(-2)=0$
$(C)$ $y(x)$ ને અંતરાલ $(-1,0)$ માં ક્રાંતિક બિંદુ છે
$(D)$ $y(x)$ ને અંતરાલ $(-1,0)$ માં કોઈ ક્રાંતિક બિંદુ નથી