$3 \text{ m}$ और $8 \text{ m}$ की आयताकार एल्युमिनियम शीट के प्रत्येक कोने से समान वर्ग काटकर और किनारों को मोड़कर एक खुले शीर्ष वाला बॉक्स बनाया जाना है। ऐसे सबसे बड़े बॉक्स का आयतन ज्ञात कीजिए।

$R$ त्रिज्या वाले गोले में अंतर्निहित अधिकतम आयतन वाले शंकु की ऊँचाई क्या है?

$f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x + 15$ द्वारा दिए गए फलन के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय निम्नतम मान ज्ञात कीजिए।

एक समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज में,समांतर भुजाओं में से एक की लंबाई और असमांतर भुजाओं की लंबाई सभी $30$ के बराबर हैं। समलंब चतुर्भुज के क्षेत्रफल को अधिकतम करने के लिए,सबसे छोटा कोण होना चाहिए:

मान लीजिए $S=(-1, \infty)$ और $f: S \rightarrow R$ को $f(x)=\int_{-1}^x (e^t-1)^{11}(2t-1)^5(t-2)^7(t-3)^{12}(2t-10)^{61} dt$ के रूप में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए $p$,$x$ के उन मानों के वर्गों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय उच्चिष्ठ (local maxima) प्राप्त करता है,और $q$,$x$ के उन मानों का योग है जहाँ $f(x)$,$S$ पर स्थानीय निम्निष्ठ (local minima) प्राप्त करता है। तब,$p^2+2q$ का मान है

$[0, 2\pi]$ पर $x+\sin 2x$ के अधिकतम और न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।