એક નિષ્પક્ષ સિક્કાને $3$ વખત ઉછાળવામાં આવે છે. જો ત્રીજા ઉછાળમાં છાપ (head) મળે,તો પ્રથમ બે ઉછાળમાં ઓછામાં ઓછી એક વધુ છાપ મળવાની સંભાવના કેટલી છે?

જો વિકલ સમીકરણ $y^{2} dx + (x^{2} - xy + y^{2}) dy = 0$ નો ઉકેલ વક્ર $y=y(x)$ બિંદુ $(1, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને રેખા $y = \sqrt{3}x$ ને બિંદુ $(\alpha, \sqrt{3}\alpha)$ પર છેદે છે,તો $\log_{e}(\sqrt{3}\alpha)$ ની કિંમત કેટલી થાય?

વિકલ સમીકરણ $(3x^2-2xy)dy+(y^2-2xy)dx=0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $y \sin \left(\frac{x}{y}\right) dx = \left\{x \sin \left(\frac{x}{y}\right) - y\right\} dy$ નો ઉકેલ, જે $y\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1$ નું સમાધાન કરે છે, તે શોધો.

$m$ ની વાસ્તવિક કિંમત શોધો જેના માટે આદેશ $y = u^m$ વિકલ સમીકરણ $2x^4y \frac{dy}{dx} + y^4 = 4x^6$ ને સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણમાં રૂપાંતરિત કરે છે:

વિકલ સમીકરણ $(xy + y^2) dx - (x^2 - 2xy) dy = 0$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.