સમતલો $x-y=0, 2x+y+z=0$ અને $2x-z=0, x+y-3z=0$ ના છેદતી રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો શોધો. ($^{\circ}$ માં)

ત્રણ રેખાઓ $\overrightarrow{r} = \lambda \hat{i}, \lambda \in R$,$\overrightarrow{r} = \mu(\hat{i} + \hat{j}), \mu \in R$ અને $\overrightarrow{r} = v(\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}), v \in R$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. ધારો કે આ રેખાઓ સમતલ $x + y + z = 1$ ને અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ બિંદુઓ પર છેદે છે. જો ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\Delta$ હોય,તો $(6 \Delta)^2$ નું મૂલ્ય શોધો.

એક સમતલ $P$ એ યામ અક્ષોને અનુક્રમે $A, B$ અને $C$ બિંદુઓમાં છેદે છે. $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(1, 1, 2)$ આપેલું છે. તો આ મધ્યકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલ $P$ ને લંબ રેખાનું સમીકરણ શોધો.

બિંદુ $(1, -5, 9)$ નું સમતલ $x - y + z = 5$ થી રેખા $x = y = z$ ની દિશામાં માપેલું અંતર . . . . . . એકમ છે.

સમતલો $\vec{r} \cdot(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})=1$ અને $\vec{r} \cdot(2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k})+4=0$ ની છેદરેખામાંથી પસાર થતા અને $x$-અક્ષને સમાંતર સમતલનું સમીકરણ શોધો:

સમતલ $2x - y + z = 4$ એ બિંદુઓ $A(a, -2, 4)$ અને $B(2, b, -3)$ ને જોડતા રેખાખંડને બિંદુ $C$ પર $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં છેદે છે. ઉગમબિંદુથી બિંદુ $C$ નું અંતર $\sqrt{5}$ છે. જો $ab < 0$ અને $P$ એ બિંદુ $(a - b, b, 2b - a)$ હોય,તો $CP^2$ ની કિંમત શોધો.