$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{3}{2}$ है। इसके केंद्रक का $Y$-निर्देशांक इसके $X$-निर्देशांक के तीन गुने से $8$ कम है। यदि $A$ $(2, -3)$ है और $B$ $(3, -2)$ है,तो $C$ के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

(A) माना $C$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
$\Delta ABC$ के केंद्रक $G$ के निर्देशांक $\left(\frac{2+3+x}{3}, \frac{-3-2+y}{3}\right) = \left(\frac{x+5}{3}, \frac{y-5}{3}\right)$ हैं।
दिया गया है कि केंद्रक का $Y$-निर्देशांक इसके $X$-निर्देशांक के तीन गुने से $8$ कम है:
$\frac{y-5}{3} = 3\left(\frac{x+5}{3}\right) - 8$
$\frac{y-5}{3} = x + 5 - 8$
$\frac{y-5}{3} = x - 3$
$y - 5 = 3x - 9 \implies 3x - y = 4$ ... $(1)$
$\Delta ABC$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = \frac{3}{2}$ है।
$\frac{1}{2} |2(-2 - y) + 3(y - (-3)) + x(-3 - (-2))| = \frac{3}{2}$
$|-4 - 2y + 3y + 9 - x| = 3$
$|y - x + 5| = 3$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $y - x + 5 = 3$ या $y - x + 5 = -3$.
स्थिति $1$: $y - x = -2 \implies x - y = 2$ ... $(2)$
स्थिति $2$: $y - x = -8 \implies x - y = 8$ ... $(3)$
$(1)$ और $(2)$ को हल करने पर: $3x - y = 4$ और $x - y = 2$. घटाने पर $2x = 2 \implies x = 1$. अतः $y = -1$.
$(1)$ और $(3)$ को हल करने पर: $3x - y = 4$ और $x - y = 8$. घटाने पर $2x = -4 \implies x = -2$. अतः $y = -10$.
अतः,$C$ के निर्देशांक $(1, -1)$ या $(-2, -10)$ हैं।