वक्रों x = y^2 - 1 और x = |y| sqrt{1 - y^2} क | vedclass

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Question

(D) वक्र $x = y^2 - 1$ और $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ हैं।चूंकि दोनों वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में $y \

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$2$

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(D) वक्र $x = y^2 - 1$ और $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ हैं।चूंकि दोनों वक्र $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित हैं,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A$ प्रथम चतुर्थांश में $y \in [0, 1]$ के लिए क्षेत्रफल का दोगुना होगा।प्रथम चतुर्थांश में,$x = y \sqrt{1 - y^2}$ और $x = y^2 - 1$ है।क्षेत्रफल $A$ इस प्रकार दिया गया है:$A = 2 \int_{0}^{1} [y \sqrt{1 - y^2} - (y^2 - 1)] \, dy$$A = 2 \left[ \int_{0}^{1} y \sqrt{1 - y^2} \, dy - \int_{0}^{1} (y^2 - 1) \, dy \right]$माना $u = 1 - y^2$,तो $du = -2y \, dy$,इसलिए $y \, dy = -\frac{1}{2} du$.जब $y=0, u=1$; जब $y=1, u=0$.$\int_{0}^{1} y \sqrt{1 - y^2} \, dy = -\frac{1}{2} \int_{1}^{0} \sqrt{u} \, du = \frac{1}{2} \int_{0}^{1} u^{1/2} \, du = \frac{1}{2} \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$.$\int_{0}^{1} (y^2 - 1) \, dy = \left[ \frac{y^3}{3} - y \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3}$.अतः,$A = 2 \left[ \frac{1}{3} - (-\frac{2}{3}) \right] = 2 \left[ \frac{1}{3} + \frac{2}{3} \right] = 2(1) = 2$.

वक्रों $x = y^2 - 1$ और $x = |y| \sqrt{1 - y^2}$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल क्या है?

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