किसी वक्र पर किसी बिंदु पर, स्पर्श रेखा की ढा | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) प्रश्न के अनुसार, स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{d

Vedclass · Accepted Answer

$y=2 e^{\frac{x^2}{2}}-1$

Vedclass · Answer

(A) प्रश्न के अनुसार, स्पर्श रेखा की ढाल $\frac{dy}{dx} = x + xy$ है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें रैखिक अवकल समीकरण प्राप्त होता है: $\frac{dy}{dx} - xy = x$. यह $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ के रूप में है, जहाँ $P(x) = -x$ और $Q(x) = x$ है। समाकलन गुणक $(IF)$ $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -x dx} = e^{-\frac{x^2}{2}}$ है। हल $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है। $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = \int x \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} dx + c$. मान लीजिए $t = -\frac{x^2}{2}$, तो $dt = -x dx$, इसलिए $x dx = -dt$. $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -\int e^t dt + c = -e^t + c = -e^{-\frac{x^2}{2}} + c$. चूंकि वक्र $(0, 1)$ से होकर गुजरता है, इसलिए $x=0$ और $y=1$ रखने पर: $1 \cdot e^0 = -e^0 + c \Rightarrow 1 = -1 + c \Rightarrow c = 2$. अतः, $y \cdot e^{-\frac{x^2}{2}} = -e^{-\frac{x^2}{2}} + 2$. $e^{-\frac{x^2}{2}}$ से भाग देने पर, हमें $y = -1 + 2e^{\frac{x^2}{2}}$ या $y = 2e^{\frac{x^2}{2}} - 1$ प्राप्त होता है।

Similar Questions

मूल बिंदु से गुजरने वाले और अवकल समीकरण $(1 + x^2) \frac{dy}{dx} + 2xy = 4x^2$ को संतुष्ट करने वाले वक्र का समीकरण है

मान लीजिए कि $y=y(x)$ अवकल समीकरण $(1+x^{2})dy+(y-\tan^{-1}x)dx=0$ का हल वक्र है, जहाँ $y(0)=1$ है। तो $y(1)$ का मान ज्ञात कीजिए:

रैखिक अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ का समाकलन गुणक (Integrating Factor) किस अवकल समीकरण का हल है?

यदि अवकल समीकरण $(y^3+x) \frac{dy}{dx} = y$ का हल $y(4) = 2$ के लिए $y^3 = ax + b$ के रूप में है,तो $4a + 12b^2 = $

मान लीजिए $y = y(x)$ अवकल समीकरण $(x^2 - x\sqrt{x^2-1})dy + (y(x - \sqrt{x^2-1}) - x)dx = 0, x \geq 1$ का हल है। यदि $y(1) = 1$ है, तो $y(\sqrt{5})$ से छोटा महत्तम पूर्णांक . . . . . . है।

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module