यदि अवकल समीकरण (y^3+x) frac{dy}{dx} = y का ह | vedclass

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Question

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^3 + x) \frac{dy}{dx} = y$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^3 + x}{y} = y^2 + \frac{x}{y}$. यह

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$8$

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(C) दिया गया अवकल समीकरण: $(y^3 + x) \frac{dy}{dx} = y$. समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dx}{dy} = \frac{y^3 + x}{y} = y^2 + \frac{x}{y}$. यह $x$ में एक रैखिक अवकल समीकरण है: $\frac{dx}{dy} - \frac{1}{y}x = y^2$. समाकलन गुणक $IF = e^{\int -\frac{1}{y} dy} = e^{-\ln|y|} = \frac{1}{y}$ है। $IF$ से गुणा करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dx}{dy} - \frac{1}{y^2} x = y$. दोनों पक्षों का $y$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int \frac{d}{dy} (\frac{x}{y}) dy = \int y dy$. $\frac{x}{y} = \frac{y^2}{2} + C$. $x = \frac{y^3}{2} + Cy \implies 2x = y^3 + 2Cy$. चूंकि $y^3 = ax + b$,हम इसे $y^3 = 2x - 2Cy$ के रूप में लिखते हैं। $y^3 = ax + b$ से तुलना करने पर,$a = 2$ और $b = -2Cy$ प्राप्त होता है। $y(4) = 2$ का उपयोग करने पर: $2^3 = 2(4) + b \implies 8 = 8 + b \implies b = 0$. अतः $y^3 = 2x + 0$,जिससे $a = 2$ और $b = 0$ मिलता है। $4a + 12b^2 = 4(2) + 12(0)^2 = 8 + 0 = 8$.

यदि अवकल समीकरण $(y^3+x) \frac{dy}{dx} = y$ का हल $y(4) = 2$ के लिए $y^3 = ax + b$ के रूप में है,तो $4a + 12b^2 = $

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