बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ संरचना के लिए धातु क्रिस्टल की पैकिंग दक्षता की गणना करें।

(N/A) बॉडी-सेंटर्ड क्यूबिक $(BCC)$ यूनिट सेल में,केंद्र में स्थित परमाणु बॉडी डायगोनल पर तिरछे व्यवस्थित अन्य दो परमाणुओं के संपर्क में होता है।
घन की ज्यामिति से,मान लें कि किनारे की लंबाई $a$ है और परमाणु की त्रिज्या $r$ है।
फेस डायगोनल $b$ इस प्रकार है:
$b^{2} = a^{2} + a^{2} = 2a^{2}$
$b = \sqrt{2}a$
बॉडी डायगोनल $c$ इस प्रकार है:
$c^{2} = a^{2} + b^{2} = a^{2} + 2a^{2} = 3a^{2}$
$c = \sqrt{3}a$
चूंकि बॉडी डायगोनल पर स्थित परमाणु एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं,इसलिए बॉडी डायगोनल की लंबाई $c = 4r$ है।
अतः,$\sqrt{3}a = 4r$,जिससे $a = \frac{4r}{\sqrt{3}}$ प्राप्त होता है।
यूनिट सेल का आयतन $a^{3} = \left(\frac{4r}{\sqrt{3}}\right)^{3} = \frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}$ है।
एक $BCC$ यूनिट सेल में $2$ परमाणु होते हैं। इन $2$ परमाणुओं द्वारा घेरा गया आयतन:
$V_{occupied} = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^{3} = \frac{8}{3} \pi r^{3}$ है।
पैकिंग दक्षता की गणना इस प्रकार की जाती है:
$\text{Packing Efficiency} = \frac{\text{Volume of } 2 \text{ atoms}}{\text{Total volume of unit cell}} \times 100\%$
$= \frac{\frac{8}{3} \pi r^{3}}{\frac{64r^{3}}{3\sqrt{3}}} \times 100\%$
$= \frac{8\pi}{3} \times \frac{3\sqrt{3}}{64} \times 100\%$
$= \frac{\sqrt{3}\pi}{8} \times 100\% \approx 68\%$.