$52$ પત્તાંના પેકમાંથી એક પછી એક પત્તું બદલ્યા વગર ખેંચવામાં આવે છે. પ્રથમ એક્કો આવે તે પહેલાં $10$ પત્તાં આવે તેની સંભાવના કેટલી?

એક બોક્સ $B_1$ માં $1$ સફેદ દડો,$3$ લાલ દડા અને $2$ કાળા દડા છે. બીજા બોક્સ $B_2$ માં $2$ સફેદ દડા,$3$ લાલ દડા અને $4$ કાળા દડા છે. ત્રીજા બોક્સ $B_3$ માં $3$ સફેદ દડા,$4$ લાલ દડા અને $5$ કાળા દડા છે.
$1.$ જો દરેક બોક્સ $B_1, B_2$ અને $B_3$ માંથી $1$ દડો કાઢવામાં આવે,તો ત્રણેય દડા એક જ રંગના હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{82}{648}$ $(B)$ $\frac{90}{648}$ $(C)$ $\frac{558}{648}$ $(D)$ $\frac{566}{648}$
$2.$ જો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલા બોક્સમાંથી $2$ દડા (પુનઃસ્થાપન વગર) કાઢવામાં આવે અને તેમાંથી એક દડો સફેદ અને બીજો લાલ હોય,તો આ $2$ દડા બોક્સ $B_2$ માંથી કાઢવામાં આવ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી?
$(A)$ $\frac{116}{181}$ $(B)$ $\frac{126}{181}$ $(C)$ $\frac{65}{181}$ $(D)$ $\frac{55}{181}$
પ્રશ્ન $1$ અને $2$ માટે સાચા વિકલ્પો પસંદ કરો.

એક કમ્પ્યુટર પ્રોગ્રામમાં બે મોડ્યુલ $X$ અને $Y$ છે અને તેમાં ભૂલો સ્વતંત્ર રીતે થાય છે. $X$ માં ભૂલ થવાની સંભાવના $0.1$ છે અને $Y$ માં ભૂલ થવાની સંભાવના $0.3$ છે. જો માત્ર $X$ માં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.5$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે, માત્ર $Y$ માં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.7$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે અને $X$ અને $Y$ બંનેમાં ભૂલ પ્રોગ્રામને $0.8$ સંભાવના સાથે ક્રેશ કરે, તો પ્રોગ્રામ ક્રેશ થવાની સંભાવના કેટલી છે?

ધારો કે ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $E_{1}, E_{2}$ અને $E_{3}$ છે. માત્ર $E_{1}$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $E_{2}$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $E_{3}$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $p$ એ એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના દર્શાવે છે જે સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું પાલન કરે છે. બધી આપેલી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ માની લો. તો,$\frac{\text{Probability of occurrence of } E_{1}}{\text{Probability of occurrence of } E_{3}}$ ની કિંમત .......... છે.

ધારો કે $E$ અને $F$ બે સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે. તેમાંથી બરાબર એક ઘટના બને તેની સંભાવના $\frac{11}{25}$ છે અને એક પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $\frac{2}{25}$ છે. જો $P(T)$ એ ઘટના $T$ બનવાની સંભાવના દર્શાવતું હોય,તો નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?
$(A)$ $P(E)=\frac{4}{5}, P(F)=\frac{3}{5}$
$(B)$ $P(E)=\frac{1}{5}, P(F)=\frac{2}{5}$
$(C)$ $P(E)=\frac{2}{5}, P(F)=\frac{1}{5}$
$(D)$ $P(E)=\frac{3}{5}, P(F)=\frac{4}{5}$

ધારો કે $S = \{1, 2, \dots, 20\}$. $S$ ના ઉપગણ $B$ ને "નાઈસ" (nice) કહેવાય જો $B$ ના ઘટકોનો સરવાળો $203$ હોય. તો $S$ માંથી યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરેલ ઉપગણ "નાઈસ" હોય તેની સંભાવના કેટલી?