f: N rightarrow N દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f: N \rightarrow N$ એ $f(x) = x^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.એક-એક (injectivity) માટે:ધારો કે $x, y \in N$ માટે $f(x) = f(y)$.તેથી $x^{2} = y

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f: N ightarrow N$ એ $f(x) = x^{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે.એક-એક (injectivity) માટે:ધારો કે $x, y \in N$ માટે $f(x) = f(y)$.તેથી $x^{2} = y^{2}$.અહીં $x, y \in N$ (પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ ધન હોય છે),તેથી $x = y$ મળે.આમ,$f$ એ એક-એક વિધેય છે.વ્યાપ્ત (surjectivity) માટે:વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in N$ માટે કોઈક $x \in N$ એવું મળે કે જેથી $f(x) = y$.ધારો કે $y = 2 \in N$.તો $x^{2} = 2$,જેનો અર્થ થાય કે $x = \sqrt{2}$.પરંતુ $\sqrt{2} 
otin N$,તેથી એવું કોઈ $x \in N$ નથી કે જેના માટે $f(x) = 2$.આમ,$f$ એ વ્યાપ્ત વિધેય નથી.નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

$f: N \rightarrow N$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x)=x^{2}$ ની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

Similar Questions

ધારો કે $A = \{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$. તો $f(1) + f(2) = 3 - f(3)$ થાય તેવા $f: A \rightarrow A$ એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેયોની સંખ્યા $.....$ છે.

ધારો કે $A \subseteq R, B \subseteq R$ અને $f: A \rightarrow B$ એ $f(x)=x^2-3x+2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. જો $f$ એક બાયજેક્શન (એક-એક અને વ્યાપ્ત વિધેય) હોય,તો

ધારો કે $f : R \to R$ એ $f(x) = e^{x^2} + \cos x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,તો $f$ એ -

ધારો કે એક વિધેય $f: N \rightarrow N$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(n) = \begin{cases} 2n, & n = 2, 4, 6, 8, \dots \\ n-1, & n = 3, 7, 11, 15, \dots \\ \frac{n+1}{2}, & n = 1, 5, 9, 13, \dots \end{cases}$
તો,$f$ એ

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module