f: N rightarrow N द्वारा परिभाषित फलन f(x)=x^ | vedclass

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Question

(A) फलन $f: N \rightarrow N$ इस प्रकार दिया गया है कि $f(x) = x^{2}$।एकैकी (injectivity) के लिए:मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$।

Vedclass · Accepted Answer

एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है

Vedclass · Answer

(A) फलन $f: N ightarrow N$ इस प्रकार दिया गया है कि $f(x) = x^{2}$।एकैकी (injectivity) के लिए:मान लीजिए $x, y \in N$ इस प्रकार हैं कि $f(x) = f(y)$।तब $x^{2} = y^{2}$।चूंकि $x, y \in N$ (प्राकृत संख्याएँ धनात्मक होती हैं),इसलिए $x = y$ होगा।अतः,$f$ एकैकी है।आच्छादक (surjectivity) के लिए:एक फलन आच्छादक होता है यदि प्रत्येक $y \in N$ के लिए,एक ऐसा $x \in N$ मौजूद हो कि $f(x) = y$।मान लीजिए $y = 2 \in N$।हमें $x^{2} = 2$ चाहिए,जिसका अर्थ है $x = \sqrt{2}$।चूंकि $\sqrt{2} 
otin N$,इसलिए ऐसा कोई $x \in N$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 2$ हो।अतः,$f$ आच्छादक नहीं है।निष्कर्ष: फलन $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

$A$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$, $f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित, जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$, $f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

$f: N \rightarrow N$ द्वारा परिभाषित फलन $f(x)=x^{2}$ की एकैकी (injectivity) और आच्छादक (surjectivity) की जाँच कीजिए।

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