List-I के फलनों को List-II में उनकी प्रकृति क | vedclass

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Question

(A-IV, B-III, C-II, D-I) $f: R \rightarrow R$, $f(x) = \cos(112x - 37)$। चूंकि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है, यह बहु-एक है, इसलिए यह एकैकी नहीं है। इसका परि

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(A-IV, B-III, C-II, D-I) $f: R \rightarrow R$, $f(x) = \cos(112x - 37)$। चूंकि $f(x)$ एक आवर्ती फलन है, यह बहु-एक है, इसलिए यह एकैकी नहीं है। इसका परिसर $[-1, 1]$ है, जो सह-प्रांत $R$ का उचित उपसमुच्चय है, इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः, $A \rightarrow IV$.$(B)$ $f: [-2, 2] \rightarrow [-4, 4]$, $f(x) = x|x|$। इसे $f(x) = \begin{cases} -x^2 & -2 \leq x $(C)$ $f: R \rightarrow R$, $f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$। चूंकि $f(2) = f(3) = f(5) = 0$, यह एकैकी नहीं है। चूंकि यह एक त्रिघात बहुपद है, इसका परिसर $R$ है, इसलिए यह आच्छादक है। अतः, $C \rightarrow II$.$(D)$ $f: N \rightarrow N$, $f(n) = n+1$। चूंकि $f(n_1) = f(n_2) \implies n_1+1 = n_2+1 \implies n_1 = n_2$, यह एकैकी है। इसका परिसर ${2, 3, 4, \dots}$ है, जो सह-प्रांत $N$ के बराबर नहीं है (क्योंकि $1$ परिसर में नहीं है), इसलिए यह आच्छादक नहीं है। अतः, $D \rightarrow I$.

$A$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = \cos(112x - 37)$ द्वारा परिभाषित	$I$. एकैकी (Injection) लेकिन आच्छादक (Surjection) नहीं
$B$. $f: A \rightarrow B$, $f(x) = x\|x\|$ द्वारा परिभाषित, जहाँ $A = [-2, 2]$ और $B = [-4, 4]$	$II$. आच्छादक लेकिन एकैकी नहीं
$C$. $f: R \rightarrow R$, $f(x) = (x-2)(x-3)(x-5)$ द्वारा परिभाषित	$III$. एकैकी और आच्छादक (Bijection)
$D$. $f: N \rightarrow N$, $f(n) = n+1$ द्वारा परिभाषित	$IV$. न तो एकैकी और न ही आच्छादक
	$V$. संयुक्त फलन

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यदि $f(x) = \begin{cases} [x], & -3 < x \leq -1 \\ |x|, & -1 < x < 1 \\ |[x]|, & 1 \leq x < 3 \end{cases}$ है, तो समुच्चय $\{x : f(x) \geq 0\}$ किसके बराबर है?

फलन $f(x) = \sin (\log (x + \sqrt {x^2 + 1}))$ है

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=x^{4}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो

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