f: Z rightarrow Z દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય f( | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) વિધેય $f: Z \rightarrow Z$ એ $f(x) = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.એક-એક માટે: ધારો કે $x, y \in Z$ માટે $f(x) = f(y)$.તેથી $x^{3} = y^{3}$. ઘનમ

Vedclass · Accepted Answer

એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી

Vedclass · Answer

(A) વિધેય $f: Z ightarrow Z$ એ $f(x) = x^{3}$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.એક-એક માટે: ધારો કે $x, y \in Z$ માટે $f(x) = f(y)$.તેથી $x^{3} = y^{3}$. ઘનમૂળ વિધેય તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ માટે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$x^{3} = y^{3} \implies x = y$.તેથી,$f$ એ એક-એક (injective) છે.વ્યાપ્ત માટે: વિધેય વ્યાપ્ત ત્યારે કહેવાય જો દરેક $y \in Z$ માટે,કોઈ એવો $x \in Z$ મળે કે જેથી $f(x) = y$.ધારો કે $y = 2 \in Z$. આપણે $x^{3} = 2$ જોઈએ છે,જેનો અર્થ થાય કે $x = \sqrt[3]{2}$.પરંતુ $\sqrt[3]{2} 
otin Z$,તેથી એવો કોઈ $x \in Z$ અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી કે જેથી $f(x) = 2$.તેથી,$f$ એ વ્યાપ્ત (surjective) નથી.નિષ્કર્ષ: વિધેય $f$ એ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

$f: Z \rightarrow Z$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય $f(x) = x^{3}$ ની એક-એક (injectivity) અને વ્યાપ્ત (surjectivity) ચકાસો.

Similar Questions

ધારો કે $A=\{1,2,3\}, \,B=\{4,5,6,7\}$ અને $f=\{(1,4),\,(2,5),\,(3,6)\}$ એ $A$ થી $B$ પરનું વિધેય છે. સાબિત કરો કે $f$ એક-એક (one-one) વિધેય છે.

વાસ્તવિક મૂલ્ય ધરાવતું વિધેય $f: R \rightarrow [ \frac{5}{2}, \infty )$,જે $f(x) = | 2x + 1 | + | x - 2 |$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તે છે:

વિધેય $f: N \rightarrow N$ જે $f(x) = \begin{cases} x+1, & x \text{ અયુગ્મ હોય} \\ x-1, & x \text{ યુગ્મ હોય} \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે,તો $f$ એ . . . . . . છે.

ધારો કે $f, g: N \rightarrow N$ એવા છે કે $f(n+1)=f(n)+f(1)$ દરેક $n \in N$ માટે અને $g$ કોઈ પણ વિધેય છે. નીચેનામાંથી કયું વિધાન સત્ય $\text{નથી}$?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module