आयताकार अतिपरवलय $xy = c^2$ की रेखा $y = x$ के समानांतर जीवाओं को व्यास मानकर वृत्त खींचे जाते हैं। ऐसे सभी वृत्त दो निश्चित बिंदुओं से होकर गुजरते हैं जिनके निर्देशांक हैं:

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) के अनंतस्पर्शी (asymptotes) के बीच का कोण $30^{\circ}$ है,तो इसकी उत्केंद्रता (eccentricity) क्या है?

यदि वृत्त $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ अतिपरवलय $xy=c^{2}$ को चार बिंदुओं $P(x_{1}, y_{1}), Q(x_{2}, y_{2}), R(x_{3}, y_{3})$ और $S(x_{4}, y_{4})$ पर प्रतिच्छेद करता है,तो

$(3,2)$ से गुजरने वाले एक आयताकार अतिपरवलय के अनंतस्पर्शी निर्देशांक अक्षों के समानांतर हैं। यदि $(1,1)$ उस अतिपरवलय की दो लंबवत स्पर्श रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है,तो उसका समीकरण क्या है?

अतिपरवलय $x^2 - 2y^2 - 2 = 0$ पर स्थित किसी बिंदु से उसके अनंतस्पर्शी (asymptotes) पर डाले गए लंबों की लंबाइयों का गुणनफल है

यदि एक अतिपरवलय (hyperbola) की नाभियाँ दीर्घवृत्त (ellipse) $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{25}=1$ की नाभियों के समान हैं और अतिपरवलय की उत्केंद्रता (eccentricity),दीर्घवृत्त की उत्केंद्रता की $\frac{15}{8}$ गुनी है,तो अतिपरवलय पर स्थित बिंदु $\left(\sqrt{2}, \frac{14}{3} \sqrt{\frac{2}{5}}\right)$ की छोटी नाभीय दूरी किसके बराबर है?