$f: N \rightarrow N$,$g: N \rightarrow N$,અને $h: N \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(x) = 2x$,$g(y) = 3y + 4$,અને $h(z) = \sin z$,$\forall x, y, z \in N$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. સાબિત કરો કે $h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f$.

સાબિત કરો કે જો $f: R - \{\frac{7}{5}\} \rightarrow R - \{\frac{3}{5}\}$ એ $f(x) = \frac{3x+4}{5x-7}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય અને $g: R - \{\frac{3}{5}\} \rightarrow R - \{\frac{7}{5}\}$ એ $g(x) = \frac{7x+4}{5x-3}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $f \circ g = I_{A}$ અને $g \circ f = I_{B}$ થાય,જ્યાં $A = R - \{\frac{3}{5}\}$,$B = R - \{\frac{7}{5}\}$; $I_{A}(x) = x, \forall x \in A$,$I_{B}(x) = x, \forall x \in B$ ને અનુક્રમે ગણ $A$ અને $B$ પરના તદેવ વિધેયો કહેવાય છે.

ધારો કે $N$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે અને બે વિધેયો $f$ અને $g$ એ $f, g : N \to N$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે,જ્યાં $f(n) = \begin{cases} \frac{n+1}{2} & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \\ \frac{n}{2} & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$ અને $g(n) = n - (-1)^n$ છે. તો $fog$ એ

જો $f(x) = x^2 - 1$ અને $g(x) = 3x + 1$ હોય,તો $(gof)(x) = $

જો $f(x)=e^x$ અને $h(x)=(f \circ f)(x)$ હોય, તો $\frac{h^{\prime}(x)}{h(x)}=$

બે વિધેયો $f: R \rightarrow R$ અને $g: R \rightarrow R$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે: $f(x) = \begin{cases} 0, & x \text{ સંમેય છે} \\ 1, & x \text{ અસંમેય છે} \end{cases}$ અને $g(x) = \begin{cases} -1, & x \text{ સંમેય છે} \\ 0, & x \text{ અસંમેય છે} \end{cases}$. તો, $(f \circ g)(\pi) + (g \circ f)(e)$ ની કિંમત શોધો.