$f: R \rightarrow R$ ને ધ્યાનમાં લો જે $f(x)=4x+3$ દ્વારા આપવામાં આવેલ છે. સાબિત કરો કે $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે. $f$ નો વ્યસ્ત શોધો.

(N/A) $f$ વ્યસ્ત સંપન્ન છે તે સાબિત કરવા માટે,આપણે સાબિત કરવું પડશે કે $f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે.
$1$. એક-એક:
ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$.
$4x_1 + 3 = 4x_2 + 3$
$4x_1 = 4x_2$
$x_1 = x_2$.
આમ,$f$ એક-એક વિધેય છે.
$2$. વ્યાપ્ત:
કોઈપણ $y \in R$ માટે,ધારો કે $y = 4x + 3$.
તેથી $4x = y - 3$,જે આપણને $x = \frac{y-3}{4}$ આપે છે.
કારણ કે $y \in R$,તેથી $x = \frac{y-3}{4} \in R$.
દરેક $y \in R$ માટે,એવો $x = \frac{y-3}{4}$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $f(x) = 4(\frac{y-3}{4}) + 3 = y - 3 + 3 = y$.
આમ,$f$ વ્યાપ્ત વિધેય છે.
$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત હોવાથી,તે વ્યસ્ત સંપન્ન છે.
$f^{-1}$ શોધવા માટે,આપણે $f(x) = y \implies x = f^{-1}(y)$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$y = 4x + 3$ પરથી,આપણને $x = \frac{y-3}{4}$ મળે છે.
તેથી,$f^{-1}(y) = \frac{y-3}{4}$,અથવા $f^{-1}(x) = \frac{x-3}{4}$.