ધારો કે $f: N \rightarrow R$ એ $f(x)=4x^{2}+12x+15$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. સાબિત કરો કે $f: N \rightarrow S$,જ્યાં $S$ એ $f$ નો વિસ્તાર છે,તે વ્યસ્ત-સંપન્ન છે. $f$ નો વ્યસ્ત શોધો.

(N/A) ધારો કે $y$ એ વિસ્તાર $S$ નો કોઈ સ્વૈચ્છિક ઘટક છે. તો કોઈ $x \in N$ માટે $y = 4x^{2} + 12x + 15$ થાય.
આને $y = (2x + 3)^{2} + 6$ તરીકે લખી શકાય.
$x$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(2x + 3)^{2} = y - 6$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $2x + 3 = \sqrt{y - 6}$ (કારણ કે $x \in N$,તેથી $2x + 3 > 0$).
આમ,$x = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$.
$g: S \rightarrow N$ ને $g(y) = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો.
હવે,$g(f(x)) = g((2x + 3)^{2} + 6) = \frac{\sqrt{(2x + 3)^{2} + 6 - 6} - 3}{2} = \frac{(2x + 3) - 3}{2} = x$.
તે જ રીતે,$f(g(y)) = f\left(\frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}\right) = \left(2\left(\frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}\right) + 3\right)^{2} + 6 = (\sqrt{y - 6} - 3 + 3)^{2} + 6 = (\sqrt{y - 6})^{2} + 6 = y - 6 + 6 = y$.
તેથી $g \circ f = I_{N}$ અને $f \circ g = I_{S}$ હોવાથી,$f$ વ્યસ્ત-સંપન્ન છે અને $f^{-1}(y) = \frac{\sqrt{y - 6} - 3}{2}$ છે.