ધારો કે f : R to R એ f(x) = ln(x + sqrt{x^2 + | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.ધારો કે $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.તેથી $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.વળી,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt

Vedclass · Accepted Answer

$2$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ છે કે $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.ધારો કે $y = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$.તેથી $e^y = x + \sqrt{x^2 + 1}$.વળી,$e^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 1}} = \sqrt{x^2 + 1} - x$.બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $e^y - e^{-y} = 2x$,જે સૂચવે છે કે $x = \frac{e^y - e^{-y}}{2} = \sinh(y)$.આમ,$f^{-1}(x) = \sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}$.આપણે $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે,જે $|\sinh(x)| = e^{-|x|}$ છે.બંને બાજુઓ યુગ્મ વિધેયો હોવાથી,આપણે $x \ge 0$ માટે ચકાસી શકીએ: $\sinh(x) = e^{-x}$.$x = 0$ આગળ,$\sinh(0) = 0$ અને $e^0 = 1$,તેથી $0 
eq 1$.જેમ $x$ વધે છે,$\sinh(x)$ એ $0$ થી $\infty$ સુધી ચુસ્ત રીતે વધે છે,અને $e^{-x}$ એ $1$ થી $0$ સુધી ચુસ્ત રીતે ઘટે છે.તેથી,$x > 0$ માટે બરાબર એક છેદનબિંદુ મળે છે.સંમિતિ દ્વારા,$x આમ,કુલ $2$ ઉકેલો છે.

ધારો કે $f : R \to R$ એ $f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો $|f^{-1}(x)| = e^{-|x|}$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

Similar Questions

ધારો કે $f(x) = \sin x + \cos x$ અને $g(x) = x^2 - 1$. તો $g(f(x))$ એ $x \in $ માટે વ્યસ્ત છે.

$f(x) = \sin x + \cos x, g(x) = x^2 - 1$ હોય,તો $g(f(x))$ કયા અંતરાલમાં વ્યસ્ત (invertible) છે?

વિધેય $f(x) = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}}$ નું પ્રતિવિધેય શોધો.

જો $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 5}, x \neq -5$ હોય, તો $f^{-1}(x)$ કોના બરાબર છે?

ધારો કે $f(x) = (x + 1)^2 - 1$ જ્યાં $x \ge -1$. તો ગણ $S = \{ x : f(x) = f^{-1}(x) \}$ શું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module