फलन y = log_{a}(x + sqrt{x^{2} + 1}) पर विचार | vedclass

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Question

(C) दिया गया है, $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$, $a > 0, a 
eq 1$. दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर, $a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. अब, $a

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है $x = \sinh(y \log a)$

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(C) दिया गया है, $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$, $a > 0, a 
eq 1$. दोनों पक्षों का घातांकीय रूप लेने पर, $a^{y} = x + \sqrt{x^{2} + 1}$. अब, $a^{-y} = \frac{1}{x + \sqrt{x^{2} + 1}}$ पर विचार करें। हर का परिमेयकरण करने पर, $a^{-y} = \sqrt{x^{2} + 1} - x$. दोनों समीकरणों को घटाने पर: $a^{y} - a^{-y} = (x + \sqrt{x^{2} + 1}) - (\sqrt{x^{2} + 1} - x) = 2x$. अतः, $x = \frac{a^{y} - a^{-y}}{2}$. चूँकि $a^{y} = e^{y \ln a}$, इसलिए $x = \frac{e^{y \ln a} - e^{-y \ln a}}{2}$. परिभाषा $\sinh(u) = \frac{e^{u} - e^{-u}}{2}$ का उपयोग करने पर, हमें $x = \sinh(y \ln a)$ प्राप्त होता है। अतः, प्रतिलोम फलन $f^{-1}(y) = \sinh(y \log a)$ है।

फलन $y = \log_{a}(x + \sqrt{x^{2} + 1})$ पर विचार करें, जहाँ $a > 0$ और $a \neq 1$ है। इस फलन का प्रतिलोम (inverse):

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यदि फलन $f$ और $g$ को $x \in R$ के लिए $f(x) = 3x - 4$ और $g(x) = 2 + 3x$ द्वारा परिभाषित किया गया है, तो $g^{-1}(f^{-1}(5))$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f = \{(1,2), (2,3), (3,1)\}$ है,तो यह स्पष्ट है कि $f$ एकैकी और आच्छादक है। प्रतिलोम फलन $f^{-1}$ ज्ञात कीजिए।

यदि $f: N \rightarrow N$ और $f(x) = x + 3$ है,तो $f^{-1}(x) =$ . . . . . . .

यदि $f(x) = \exp(2x^3 + 3x^2 + 6x)$ और $g(x)$,$f(x)$ का प्रतिलोम फलन है,तो $g'(e^{11})$ का मान ज्ञात कीजिए -

यदि फलन $f(x)=x^3+e^{\frac{x}{2}}$ और $g(x)=f^{-1}(x)$ है,तो $g^{\prime}(1)$ का मान ज्ञात कीजिए।

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