रेखाओं L_1: x-1=y-2=z और L_2: x-2=y=z-1 पर वि | vedclass

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Question

(B) रेखा $L_1$ को $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-0}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $Q = (\lambda+1, \lambda+2, \lambda)$ है।चूंकि

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$147$

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(B) रेखा $L_1$ को $\frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-0}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $Q = (\lambda+1, \lambda+2, \lambda)$ है।चूंकि $PQ \perp L_1$,सदिश $\vec{PQ} = (\lambda-4, \lambda+1, \lambda+3)$ दिशा सदिश $\vec{v_1} = (1, 1, 1)$ के लंबवत है।अतः,$(\lambda-4)(1) + (\lambda+1)(1) + (\lambda+3)(1) = 0 \Rightarrow 3\lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 0$.इस प्रकार,$Q = (1, 2, 0)$ और $\vec{PQ} = (-4, 1, 3)$ है।रेखा $L_2$ को $\frac{x-2}{1} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-1}{1}$ के रूप में लिखा जा सकता है। मान लीजिए $R = (\mu+2, \mu, \mu+1)$ है।चूंकि $PR \perp L_2$,सदिश $\vec{PR} = (\mu-3, \mu-1, \mu+4)$ दिशा सदिश $\vec{v_2} = (1, 1, 1)$ के लंबवत है।अतः,$(\mu-3)(1) + (\mu-1)(1) + (\mu+4)(1) = 0 \Rightarrow 3\mu = 0 \Rightarrow \mu = 0$.इस प्रकार,$R = (2, 0, 1)$ और $\vec{PR} = (-3, -1, 4)$ है।$	riangle PQR$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |\vec{PQ} 	imes \vec{PR}|$ है।$\vec{PQ} 	imes \vec{PR} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \ -4 & 1 & 3 \ -3 & -1 & 4 \end{vmatrix} = \hat{i}(4 - (-3)) - \hat{j}(-16 - (-9)) + \hat{k}(4 - (-3)) = 7\hat{i} + 7\hat{j} - 7\hat{k}$.$|\vec{PQ} 	imes \vec{PR}| = \sqrt{7^2 + 7^2 + (-7)^2} = \sqrt{49 	imes 3} = 7\sqrt{3}$.$A = \frac{1}{2} 	imes 7\sqrt{3} = \frac{7\sqrt{3}}{2}$.$4A^2 = 4 	imes \frac{49 	imes 3}{4} = 147$.

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बिंदु $(1, 2, 3)$ से रेखा $\vec{r} = (6 \hat{i} + 7 \hat{j} + 7 \hat{k}) + \lambda(3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 2 \hat{k})$ पर डाले गए लंब के पाद के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\overline{r} = (4\hat{i} - \hat{j}) + \lambda(\hat{i} + 2\hat{j} - 3\hat{k})$ और $\overline{r} = (\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}) + \mu(2\hat{i} + 4\hat{j} - 5\hat{k})$ के बीच की न्यूनतम दूरी ज्ञात कीजिए।

यदि बिंदु $(4,4,3)$ का रेखा $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{1}=\frac{z-1}{3}$ में प्रतिबिंब $(\alpha, \beta, \gamma)$ है,तो $\alpha+\beta+\gamma$ का मान ज्ञात कीजिए।

रेखाओं $\vec{r}=(2 \hat{i}-3 \hat{j}+\hat{k})+\lambda(\hat{i}+4 \hat{j}+3 \hat{k})$ और $\vec{r}=(\hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k})+\mu(\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k})$ के बीच का कोण ज्ञात कीजिए।

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