परवलय y^{2}=4x पर विचार करें। मान लीजिए P और | vedclass

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Question

(C) $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $R$ से रेखा $PQ$ की दूरी अधिकतम हो। मान लीजिए $R$ बिंदु $(t^{2}, 2t)$ है। रेखा $PQ$, $P(4, -4)$ और

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$R\left(\frac{1}{4}, 1\right)$

Vedclass · Answer

(C) $\Delta PQR$ का क्षेत्रफल तब अधिकतम होता है जब $R$ से रेखा $PQ$ की दूरी अधिकतम हो। मान लीजिए $R$ बिंदु $(t^{2}, 2t)$ है। रेखा $PQ$, $P(4, -4)$ और $Q(9, 6)$ से होकर गुजरती है। $PQ$ की ढाल $m = \frac{6 - (-4)}{9 - 4} = \frac{10}{5} = 2$ है। रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 6 = 2(x - 9) \Rightarrow 2x - y - 12 = 0$ है। $R(t^{2}, 2t)$ से $2x - y - 12 = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{|2t^{2} - 2t - 12|}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{|2(t^{2} - t - 6)|}{\sqrt{5}} = \frac{2|t - 3||t + 2|}{\sqrt{5}}$ है। $R$ के $P$ और $Q$ के बीच के चाप पर होने के लिए, पैरामीटर $t$ को $-2$ और $3$ के बीच होना चाहिए। मान लीजिए $f(t) = t^{2} - t - 6$ है। दूरी को अधिकतम करने के लिए, हम $f'(t) = 2t - 1 = 0$ रखकर $f(t)$ का क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं, जिससे $t = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है। $t = \frac{1}{2}$ पर, $R$ के निर्देशांक $\left(\left(\frac{1}{2}\right)^{2}, 2\left(\frac{1}{2}\right)\right) = \left(\frac{1}{4}, 1\right)$ हैं।

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