વર્તુળોની સિસ્ટમ x^2+y^2+2fy+lambda(x^2+y^2+2 | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) આપેલ વર્તુળોની સિસ્ટમ $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ છે. પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{k}{2}$

Vedclass · Answer

(B) આપેલ વર્તુળોની સિસ્ટમ $x^2+y^2+2fy+\lambda(x^2+y^2+2gx+k)=0$ છે. પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $(1+\lambda)x^2+(1+\lambda)y^2+2g\lambda x+2fy+\lambda k=0$ મળે છે. $(1+\lambda)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^2+y^2+2\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)x+2\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)y+\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ મળે છે. બિંદુ વર્તુળ માટે,ત્રિજ્યા $r=0$ હોવી જોઈએ,તેથી $g'^2+f'^2-c'=0$. કિંમતો મૂકતા,આપણને $\left(\frac{g\lambda}{1+\lambda}\right)^2+\left(\frac{f}{1+\lambda}\right)^2-\frac{\lambda k}{1+\lambda}=0$ મળે છે. $(1+\lambda)^2$ વડે ગુણતા,આપણને $g^2\lambda^2+f^2-\lambda k(1+\lambda)=0$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(g^2-k)\lambda^2-k\lambda+f^2=0$ થાય છે. ધારો કે બીજ $\lambda_1$ અને $\lambda_2$ છે. બિંદુ વર્તુળોના કેન્દ્રો $A\left(\frac{-g\lambda_1}{1+\lambda_1}, \frac{-f}{1+\lambda_1}\right)$ અને $B\left(\frac{-g\lambda_2}{1+\lambda_2}, \frac{-f}{1+\lambda_2}\right)$ છે. કારણ કે $\angle AOB = \frac{\pi}{2}$,ઢાળનો ગુણાકાર $m_1 m_2 = -1$ થાય. $m_1 = \frac{-f/(1+\lambda_1)}{-g\lambda_1/(1+\lambda_1)} = \frac{f}{g\lambda_1}$. તેથી,$\left(\frac{f}{g\lambda_1}\right)\left(\frac{f}{g\lambda_2}\right) = -1$ $\Rightarrow \frac{f^2}{g^2\lambda_1\lambda_2} = -1$. દ્વિઘાત સમીકરણ પરથી,$\lambda_1\lambda_2 = \frac{f^2}{g^2-k}$. આ કિંમત મૂકતા,$\frac{f^2}{g^2(f^2/(g^2-k))} = -1 \Rightarrow \frac{g^2-k}{g^2} = -1$. $g^2-k = -g^2$ $\Rightarrow 2g^2 = k$ $\Rightarrow g^2 = \frac{k}{2}$.

Similar Questions

વર્તુળો $x^2+y^2-2x-2y-23=0$ અને $x^2+y^2-4x-4y-1=0$ ને દોરી શકાય તેવા સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

વર્તુળો $x^2+y^2+4x=0$ અને $x^2+y^2-2x=0$ ના સામાન્ય સ્પર્શકોની સંખ્યા કેટલી છે?

જે વર્તુળ ત્રણેય વર્તુળો $4(x-1)^2+4(y-1)^2=1$,$4(x+1)^2+4(y-1)^2=1$ અને $4(x+1)^2+4(y+1)^2=1$ ને લંબચ્છેદી રીતે કાપે છે તેનું સમીકરણ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module