एक दी गई किरण के प्रारंभिक बिंदु पर $45^{\circ}$ का कोण बनाइए और रचना का औचित्य दीजिए।

(N/A) रचना के चरण:
$(1)$ मान लीजिए $AB$ एक दी गई किरण है जिसका प्रारंभिक बिंदु $A$ है। $AB$ को बाईं ओर बढ़ाकर एक रेखा $MAB$ बनाइए।
$(2)$ $A$ को केंद्र मानकर और कोई भी त्रिज्या लेकर,एक चाप खींचिए जो रेखा $MAB$ को बिंदुओं $X$ और $Y$ पर प्रतिच्छेद करे।
$(3)$ $X$ और $Y$ को केंद्र मानकर और $\frac{1}{2} XY$ से अधिक त्रिज्या लेकर,दो चाप खींचिए जो रेखा $MAB$ के ऊपर बिंदु $P$ पर प्रतिच्छेद करें।
$(4)$ $P$ से होकर जाने वाली किरण $AC$ खींचिए। इस प्रकार,$\angle CAB = 90^{\circ}$ की रचना होती है।
$(5)$ $A$ को केंद्र मानकर खींचे गए चाप और किरण $AC$ के प्रतिच्छेदन बिंदु को $Z$ नाम दीजिए।
$(6)$ $Y$ और $Z$ को केंद्र मानकर और $\frac{1}{2} YZ$ से अधिक त्रिज्या लेकर,दो चाप खींचिए जो बिंदु $Q$ पर प्रतिच्छेद करें।
$(7)$ किरण $AQ$ खींचिए। इस प्रकार,$\angle QAB = 45^{\circ}$ अभीष्ट कोण है।
औचित्य:
$PX$ और $PY$ खींचिए। $\Delta PAX$ और $\Delta PAY$ में:
$AX = AY$ (एक ही चाप की त्रिज्याएँ)
$PX = PY$ (सर्वांगसम चापों की त्रिज्याएँ)
$PA = PA$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता नियम से,$\Delta PAX \cong \Delta PAY$.
अतः,$\angle PAX = \angle PAY$ $(CPCT)$.
चूँकि $\angle PAX + \angle PAY = 180^{\circ}$ (रैखिक युग्म),इसलिए $\angle PAY = \frac{180^{\circ}}{2} = 90^{\circ}$.
अतः,$\angle CAB = 90^{\circ}$.
अब,$\Delta AYQ$ और $\Delta AZQ$ पर विचार कीजिए:
$AY = AZ$ (एक ही चाप की त्रिज्याएँ)
$YQ = ZQ$ (सर्वांगसम चापों की त्रिज्याएँ)
$AQ = AQ$ (उभयनिष्ठ भुजा)
$SSS$ सर्वांगसमता नियम से,$\Delta AYQ \cong \Delta AZQ$.
अतः,$\angle QAY = \angle QAZ$ $(CPCT)$.
चूँकि $\angle QAY + \angle QAZ = \angle ZAY = \angle CAB = 90^{\circ}$,
$\angle QAY = \frac{90^{\circ}}{2} = 45^{\circ}$.
अतः,$\angle QAB = 45^{\circ}$।