અવમંદિત દોલનો માટે વિકલ સમીકરણ તારવો અને તેનો ઉકેલ લખો.

(N/A) પ્રવાહી માધ્યમમાં દોલક પર લાગતું અવરોધક બળ દોલકના વેગ પર આધાર રાખે છે.
વ્યવહારમાં,ખૂબ મોટા વેગ ન હોય ત્યારે,અવરોધક બળ દોલકના વેગના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\therefore F_{d} \propto -v$
$\therefore F_{d} = -bv$ ... $(1)$
જ્યાં $b$ એ ધન અચળાંક છે જેને અવમંદન અચળાંક કહે છે.
તે માધ્યમના ગુણધર્મો (જેમ કે સ્નિગ્ધતા) અને બ્લોકના કદ અને આકાર પર આધાર રાખે છે.
અવમંદન અચળાંકનો એકમ $N \cdot s/m$ છે અને તેનું પારિમાણિક સૂત્ર $[M^1 L^0 T^{-1}]$ છે.
જ્યારે દોલક મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ જેટલું સ્થાનાંતર ધરાવે છે,ત્યારે તેમાં ઉદ્ભવતું પુનઃસ્થાપક બળ $(F_{s})$ એ $F_{s} = -kx$ છે ... $(2)$
આમ,કોઈપણ સમયે $t$ પર દળ પર લાગતું કુલ બળ:
$F = F_{s} + F_{d}$
$\therefore F = -kx - bv$ ... $(3)$
જો $a(t)$ એ $t$ સમયે દળનો પ્રવેગ હોય,તો ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma(t)$.
સમીકરણ $(3)$ માં કિંમત મૂકતા:
$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - b \frac{dx}{dt}$
$\therefore m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ ... $(4)$
આ અવમંદિત દોલનો માટેનું વિકલ સમીકરણ છે.
સમીકરણ $(4)$ નો ઉકેલ નીચે મુજબ છે:
$x(t) = A e^{-\frac{bt}{2m}} \cos(\omega' t + \phi)$ ... $(5)$
જ્યાં $A e^{-\frac{bt}{2m}}$ એ સમય પર આધારિત કંપવિસ્તાર છે અને $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ એ અવમંદિત દોલકની કોણીય આવૃત્તિ છે.