अवमंदित दोलनों के लिए अवकल समीकरण व्युत्पन्न कीजिए और इसका हल लिखिए।

(N/A) द्रव माध्यम में दोलक पर कार्य करने वाला प्रतिरोधी बल दोलक के वेग पर निर्भर करता है।
व्यावहारिक रूप से,बहुत अधिक वेग न होने पर,प्रतिरोधी बल दोलक के वेग के सीधे आनुपातिक होता है।
$\therefore F_{d} \propto -v$
$\therefore F_{d} = -bv$ ... $(1)$
जहाँ $b$ एक धनात्मक स्थिरांक है जिसे अवमंदन गुणांक कहा जाता है।
यह माध्यम के गुणों (जैसे श्यानता) और ब्लॉक के आकार और आकृति पर निर्भर करता है।
अवमंदन गुणांक की इकाई $N \cdot s/m$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^0 T^{-1}]$ है।
जब दोलक माध्य स्थिति से $x$ विस्थापन पर होता है,तो उसमें उत्पन्न प्रत्यानयन बल $(F_{s})$ होता है: $F_{s} = -kx$ ... $(2)$
अतः,किसी भी समय $t$ पर द्रव्यमान पर कार्य करने वाला कुल बल है:
$F = F_{s} + F_{d}$
$\therefore F = -kx - bv$ ... $(3)$
यदि $a(t)$ समय $t$ पर द्रव्यमान का त्वरण है,तो न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma(t)$.
समीकरण $(3)$ में मान रखने पर:
$m \frac{d^2x}{dt^2} = -kx - b \frac{dx}{dt}$
$\therefore m \frac{d^2x}{dt^2} + b \frac{dx}{dt} + kx = 0$ ... $(4)$
यह अवमंदित दोलनों के लिए अवकल समीकरण है।
समीकरण $(4)$ का हल है:
$x(t) = A e^{-\frac{bt}{2m}} \cos(\omega' t + \phi)$ ... $(5)$
जहाँ $A e^{-\frac{bt}{2m}}$ समय पर निर्भर आयाम है और $\omega' = \sqrt{\frac{k}{m} - \frac{b^2}{4m^2}}$ अवमंदित दोलक की कोणीय आवृत्ति है।