एक अवमंदित (damped) हार्मोनिक ऑसिलेटर का विस् | vedclass

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Question

(D) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का विस्थापन $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ होता है।दिए गए सम

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(D) एक अवमंदित हार्मोनिक ऑसिलेटर का विस्थापन $x(t) = A(t) \cos(\omega t + \varphi)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A(t) = A_0 e^{-bt/2m}$ होता है।दिए गए समीकरण $x(t) = e^{-0.1t} \cos(10\pi t + \varphi)$ के साथ तुलना करने पर,हम आयाम को $A(t) = A_0 e^{-0.1t}$ के रूप में पहचानते हैं,जहाँ $A_0 = 1$ है।हमें वह समय $t$ ज्ञात करना है जब आयाम $A(t)$ अपने प्रारंभिक मान $A_0$ का आधा हो जाता है।$A(t) = \frac{A_0}{2}$ रखने पर,हमें $A_0 e^{-0.1t} = \frac{A_0}{2}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों को $A_0$ से विभाजित करने पर,हमें $e^{-0.1t} = \frac{1}{2}$ या $e^{0.1t} = 2$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर: $0.1t = \ln(2)$।$\ln(2) \approx 0.693$ का मान उपयोग करने पर,हमें $0.1t = 0.693$ प्राप्त होता है।अतः,$t = \frac{0.693}{0.1} = 6.93 \, s$।निकटतम पूर्णांक में बदलने पर,हमें $t \approx 7 \, s$ प्राप्त होता है।

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