मोलर द्रव्यमान के पदों में $v_{rms}$ का समीकरण व्युत्पन्न कीजिए।

(N/A) एक आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:
$<\frac{1}{2} m v^{2}> = \frac{3}{2} k_{B} T$
यहाँ,$m$ एक अणु का द्रव्यमान है,$v$ वेग है,$k_{B}$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ परम ताप है।
हम जानते हैं कि बोल्ट्जमैन नियतांक $k_{B} = \frac{R}{N_{A}}$,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $N_{A}$ आवोगाद्रो संख्या है।
समीकरण में $k_{B}$ का मान रखने पर:
$<\frac{1}{2} m v^{2}> = \frac{3}{2} (\frac{R}{N_{A}}) T$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$m = \frac{3 R T}{N_{A}}$
चूंकि मोलर द्रव्यमान $M_{0} = m \times N_{A}$ होता है,हम $m = \frac{M_{0}}{N_{A}}$ लिख सकते हैं। यह मान रखने पर:
$(\frac{M_{0}}{N_{A}}) = \frac{3 R T}{N_{A}}$
दोनों पक्षों से $N_{A}$ को हटाने पर:
$M_{0} = 3 R T$
$ = \frac{3 R T}{M_{0}}$
परिभाषा के अनुसार,वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{}$ होता है।
अतः,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 R T}{M_{0}}}$।