નિર્ધારિત કરો કે બિંદુઓ $(1,5), (2,3)$ અને $(-2,-11)$ સમરેખ છે કે નહીં.

જો $(-5, 3), (a, -1), (6, b)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(1, -1)$ હોય,તો $a$ અને $b$ ની કિંમતો શોધો.

બિંદુઓ $A(3, 4)$ અને $B(5, -2)$ આપેલા છે. સમતલ પરનું એવું બિંદુ $P(x, y)$ શોધો કે જેથી $PA = PB$ થાય અને $\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $10$ હોય.

બિંદુઓ $A(x_{1}, y_{1})$,$B(x_{2}, y_{2})$ અને $C(x_{3}, y_{3})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ છે.
$(i)$ $A$ માંથી દોરેલી મધ્યગા $BC$ ને $D$ માં મળે છે. બિંદુ $D$ ના યામ શોધો.
$(ii)$ $AD$ પરના એવા બિંદુ $P$ ના યામ શોધો કે જેથી $AP : PD = 2 : 1$ થાય.
$(iii)$ મધ્યગાઓ $BE$ અને $CF$ પરના એવા બિંદુઓ $Q$ અને $R$ ના યામ શોધો કે જેથી $BQ : QE = 2 : 1$ અને $CR : RF = 2 : 1$ થાય.
$(iv)$ ત્રિકોણ $ABC$ ના મધ્યકેન્દ્રના યામ શું છે?

સાબિત કરો કે,જો ચતુષ્કોણની બાજુઓના મધ્યબિંદુઓને ક્રમમાં જોડવામાં આવે,તો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ મળે છે.

$(1,2), (3,3)$ અને $(5,1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર શોધો.