$x$ के सापेक्ष फलन $(\log x)^{x}+x^{\log x}$ का अवकलन कीजिए।

माना $y=(\log x)^{x}+x^{\log x}$ है।
माना $u=(\log x)^{x}$ और $v=x^{\log x}$ है।
अतः $y=u+v$,जिससे $\frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx}$ ...........$(1)$
$u=(\log x)^{x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर:
$\log u = x \log(\log x)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log(\log x) + x \cdot \frac{1}{\log x} \cdot \frac{1}{x} = \log(\log x) + \frac{1}{\log x}$।
$\frac{du}{dx} = (\log x)^{x} \left[ \log(\log x) + \frac{1}{\log x} \right] = (\log x)^{x-1} [1 + \log x \cdot \log(\log x)]$ ...........$(2)$
$v=x^{\log x}$ के लिए,दोनों पक्षों का लॉग लेने पर:
$\log v = \log x \cdot \log x = (\log x)^{2}$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = 2 \log x \cdot \frac{1}{x}$।
$\frac{dv}{dx} = x^{\log x} \cdot \frac{2 \log x}{x} = 2 x^{\log x-1} \log x$ ...........$(3)$
$(2)$ और $(3)$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\log x)^{x-1} [1 + \log x \cdot \log(\log x)] + 2 x^{\log x-1} \log x$।