बिंदु (1, 0) से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण | vedclass

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Question

(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2)dx - xydy = 0$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1 + y^2}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int

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$x^2 - y^2 = 1$

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(B) दिया गया अवकल समीकरण: $(1 + y^2)dx - xydy = 0$. चरों को अलग करने पर: $\frac{dx}{x} = \frac{y dy}{1 + y^2}$. दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dx}{x} = \int \frac{y dy}{1 + y^2}$. माना $u = 1 + y^2$,तब $du = 2y dy$,इसलिए $y dy = \frac{du}{2}$. अतः,$\ln|x| = \frac{1}{2} \ln(1 + y^2) + C$. इसे $\ln|x| = \ln(\sqrt{1 + y^2}) + \ln c$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $C = \ln c$. इसलिए,$|x| = c\sqrt{1 + y^2}$. चूँकि वक्र $(1, 0)$ से गुजरता है,$x = 1$ और $y = 0$ रखने पर: $1 = c\sqrt{1 + 0^2} \implies c = 1$. अतः,वक्र का समीकरण $|x| = \sqrt{1 + y^2}$ है,जो $x^2 = 1 + y^2$ या $x^2 - y^2 = 1$ के रूप में सरल होता है।

बिंदु $(1, 0)$ से गुजरने वाले उस वक्र का समीकरण क्या है जो अवकल समीकरण $(1 + y^2)dx - xydy = 0$ को संतुष्ट करता है?

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