$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x \, dx$ ની કિંમત શોધો.

(C) ધારો કે $I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin x \, dx$
ગુણધર્મ $\int_{0}^{a} f(x) \, dx = \int_{0}^{a} f(a-x) \, dx$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin \left(\frac{\pi}{2}-x\right) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \cos x \, dx$
$I$ ના બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} (\log \sin x + \log \cos x) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log(\sin x \cos x) \, dx$
લોગેરિધમની અંદર $2$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log\left(\frac{\sin 2x}{2}\right) \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2x \, dx - \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log 2 \, dx$
$2I = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2x \, dx - \frac{\pi}{2} \log 2$
પ્રથમ સંકલન માટે,$2x = t$ લેતા,$2 \, dx = dt$. જ્યારે $x=0, t=0$; જ્યારે $x=\frac{\pi}{2}, t=\pi$:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \int_{0}^{\pi} \log \sin t \, dt = \frac{1}{2} \times 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \log \sin t \, dt = I$ (કારણ કે $\int_{0}^{2a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ જો $f(2a-x) = f(x)$ હોય)
કિંમત મૂકતા:
$2I = I - \frac{\pi}{2} \log 2$
$I = -\frac{\pi}{2} \log 2$