int sqrt{e^{4x} + e^{2x}} , dx का मान ज्ञात क | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \sqrt{e^{4x} + e^{2x}} \, dx = \int e^x \sqrt{e^{2x} + 1} \, dx$. $e^x = v$ प्रतिस्थापित करने पर,$dv = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{1}{2} e^x \sqrt{e^{2x} + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(e^x) + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \sqrt{e^{4x} + e^{2x}} \, dx = \int e^x \sqrt{e^{2x} + 1} \, dx$. $e^x = v$ प्रतिस्थापित करने पर,$dv = e^x \, dx$ प्राप्त होता है। $I = \int \sqrt{v^2 + 1} \, dv$. मानक समाकलन सूत्र $\int \sqrt{x^2 + a^2} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{x^2 + a^2} + \frac{a^2}{2} \ln|x + \sqrt{x^2 + a^2}| + c$ का उपयोग करने पर। यहाँ $a = 1$ है,इसलिए $I = \frac{v}{2} \sqrt{v^2 + 1} + \frac{1}{2} \ln|v + \sqrt{v^2 + 1}| + c$. चूंकि $\sinh^{-1}(v) = \ln(v + \sqrt{v^2 + 1})$,इसलिए $I = \frac{v}{2} \sqrt{v^2 + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(v) + c$. $v = e^x$ वापस रखने पर,हमें $I = \frac{1}{2} e^x \sqrt{e^{2x} + 1} + \frac{1}{2} \sinh^{-1}(e^x) + c$ प्राप्त होता है।

$\int \sqrt{e^{4x} + e^{2x}} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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