વિધેય x^{y} + y^{x} = 1 માટે frac{dy}{dx} શોધ | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિધેય $x^{y} + y^{x} = 1$ છે.ધારો કે $u = x^{y}$ અને $v = y^{x}$.તેથી સમીકરણ $u + v = 1$ બને છે.$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx} + \f

Vedclass · Accepted Answer

$-\frac{y x^{y-1} + y^{x} \log y}{x^{y} \log x + x y^{x-1}}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિધેય $x^{y} + y^{x} = 1$ છે.ધારો કે $u = x^{y}$ અને $v = y^{x}$.તેથી સમીકરણ $u + v = 1$ બને છે.$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા,$\frac{du}{dx} + \frac{dv}{dx} = 0$  $(1)$.$u = x^{y}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log u = y \log x$.$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = y \cdot \frac{1}{x} + \log x \cdot \frac{dy}{dx}$.તેથી,$\frac{du}{dx} = x^{y} \left( \frac{y}{x} + \log x \frac{dy}{dx} \right) = y x^{y-1} + x^{y} \log x \frac{dy}{dx}$  $(2)$.$v = y^{x}$ માટે,બંને બાજુ લોગ લેતા: $\log v = x \log y$.$x$ ની સાપેક્ષ વિકલન કરતા: $\frac{1}{v} \frac{dv}{dx} = x \cdot \frac{1}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \cdot 1$.તેથી,$\frac{dv}{dx} = y^{x} \left( \frac{x}{y} \frac{dy}{dx} + \log y \right) = x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^{x} \log y$  $(3)$.$(2)$ અને $(3)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:$y x^{y-1} + x^{y} \log x \frac{dy}{dx} + x y^{x-1} \frac{dy}{dx} + y^{x} \log y = 0$.$\frac{dy}{dx} (x^{y} \log x + x y^{x-1}) = -(y x^{y-1} + y^{x} \log y)$.તેથી,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y x^{y-1} + y^{x} \log y}{x^{y} \log x + x y^{x-1}}$.

વિધેય $x^{y} + y^{x} = 1$ માટે $\frac{dy}{dx}$ શોધો.

Similar Questions

જો $\cos ^{-1}\left(\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2}\right)=k$ (અચળ) હોય, તો $\frac{d y}{d x}$ ની કિંમત શોધો.

જો $y^{\frac{1}{m}}+y^{-\frac{1}{m}}=2x$,જ્યાં $x \neq 1$,તો $(x^2-1)(\frac{dy}{dx})^2$ ની કિંમત શોધો.

જો $\sin y + e^{-x \cos y} = e$ હોય,તો $(1, \pi)$ આગળ $\frac{dy}{dx}$ ની કિંમત શોધો.

જો $x^y=y^x$ હોય,તો $x(x-y \log x) \frac{d y}{d x}$ ની કિંમત શું થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module