$\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} d x$ ज्ञात कीजिए।

(N/A) माना पहला फलन $u = \sin ^{-1} x$ है और दूसरा फलन $dv = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$ है।
सबसे पहले,हम दूसरे फलन का समाकलन ज्ञात करते हैं:
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$
माना $t = 1-x^{2}$,तो $dt = -2x dx$,जिसका अर्थ है $x dx = -\frac{1}{2} dt$.
$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} (2t^{1/2}) = -\sqrt{1-x^{2}}$.
अब,खंडशः समाकलन (integration by parts) का सूत्र लागू करें: $\int u dv = uv - \int v du$.
यहाँ,$du = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$.
$\int \frac{x \sin ^{-1} x}{\sqrt{1-x^{2}}} dx = (\sin ^{-1} x)(-\sqrt{1-x^{2}}) - \int (-\sqrt{1-x^{2}}) \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} dx$
$= -\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x + \int 1 dx$
$= -\sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x + x + C$
$= x - \sqrt{1-x^{2}} \sin ^{-1} x + C$.