$f$ के सभी असांतत्य (discontinuity) के बिंदु ज्ञात कीजिए,जहाँ $f$ इस प्रकार परिभाषित है: $f(x) = \begin{cases} x^3 - 3, & \text{यदि } x \le 2 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} x^3 - 3, & \text{यदि } x \le 2 \\ x^2 + 1, & \text{यदि } x > 2 \end{cases}$ है।
फलन $f$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
स्थिति $I$: यदि $c < 2$ है,तो $f(c) = c^3 - 3.$
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^3 - 3) = c^3 - 3 = f(c).$
अतः,$f$ सभी $x < 2$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c = 2$ है,तो $f(2) = 2^3 - 3 = 5.$
बायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^3 - 3) = 2^3 - 3 = 5.$
दायाँ पक्ष सीमा: $\lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 + 1) = 2^2 + 1 = 5.$
चूँकि $\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2) = 5,$ इसलिए फलन $x = 2$ पर संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c > 2$ है,तो $f(c) = c^2 + 1.$
$\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x^2 + 1) = c^2 + 1 = f(c).$
अतः,$f$ सभी $x > 2$ के लिए संतत है।
निष्कर्ष: फलन $f$ वास्तविक संख्या रेखा पर प्रत्येक बिंदु पर संतत है। अतः,असांतत्य का कोई बिंदु नहीं है।