$f(x) = |x| - |x + 1|$ द्वारा परिभाषित फलन $f$ के सभी असांतत्य के बिंदु ज्ञात कीजिए।

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = |x| - |x + 1|$ है।
दो फलनों $g$ और $h$ को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:
$g(x) = |x|$ और $h(x) = |x + 1|$.
अतः,$f = g - h$ है।
सबसे पहले,$g$ और $h$ की सांतत्यता की जाँच करते हैं।
फलन $g(x) = |x|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$g(x) = \begin{cases} -x, & \text{यदि } x < 0 \\ x, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$
यह स्पष्ट है कि $g$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित है।
मान लीजिए $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$ है,तो $g(c) = -c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (-x) = -c$. अतः,$g$ फलन $x < 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c > 0$ है,तो $g(c) = c$ और $\lim_{x \to c} g(x) = \lim_{x \to c} (x) = c$. अतः,$g$ फलन $x > 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c = 0$ है,तो $g(0) = 0$ है। बायाँ पक्ष सीमा $\lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$ और दायाँ पक्ष सीमा $\lim_{x \to 0^+} (x) = 0$ है। अतः,$g$ फलन $x = 0$ पर संतत है।
इस प्रकार,$g$ प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
इसी प्रकार,$h(x) = |x + 1|$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$h(x) = \begin{cases} -(x + 1), & \text{यदि } x < -1 \\ x + 1, & \text{यदि } x \ge -1 \end{cases}$
इसी तरह यह सिद्ध किया जा सकता है कि $h$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए संतत है।
दो संतत फलनों का अंतर भी एक संतत फलन होता है। इसलिए,$f = g - h$ भी प्रत्येक बिंदु पर संतत है।
अतः,$f$ का कोई भी असांतत्य बिंदु नहीं है।