निम्नलिखित अनुक्रम का $20$ वाँ पद ज्ञात कीजिए जिसका $n$ वाँ पद $a_{n} = \frac{n(n-2)}{n+3}$ है।

मान लीजिए कि $\{a_{n}\}_{n=1}^{\infty}$ एक अनुक्रम है जैसे कि $a_{1}=1, a_{2}=1$ और सभी $n \geq 1$ के लिए $a_{n+2}=2a_{n+1}+a_{n}$ है। तो $47 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{a_{n}}{2^{3n}}$ का मान $.....$ है।

$\frac{1^3 + 2^3 + 3^3 + 4^3 + \dots + 12^3}{1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + \dots + 12^2} = $

मान लीजिए $n$ सबसे छोटा धनात्मक पूर्णांक है जिसके लिए $1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\ldots+\frac{1}{n} \geq 4$ है। निम्नलिखित में से कौन सा कथन सत्य है?

यदि $f(1)=3$, और $f(n+1)-f(n)=3(4^n-1)$ है, तो सभी $n \in N$ के लिए, $f(n)=$

यदि $S_{n} = 4 + 11 + 21 + 34 + 50 + \ldots$ $n$ पदों तक है,तो $\frac{1}{60}(S_{29} - S_{9})$ का मान $.......$ है।