दो वृत्तों x^{2}+y^{2}=4 और (x-2)^{2}+y^{2}=4 | vedclass

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Question

(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:$x^{2}+y^{2}=4$  ........ $(1)$$(x-2)^{2}+y^{2}=4$  ........ $(2)$समीकरण $(1)$ मूल बिंदु $O(0,0)$ पर केंद्र और $2$ त्

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$\frac{8 \pi}{3}-2 \sqrt{3}$

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(A) दिए गए वृत्तों के समीकरण हैं:$x^{2}+y^{2}=4$  ........ $(1)$$(x-2)^{2}+y^{2}=4$  ........ $(2)$समीकरण $(1)$ मूल बिंदु $O(0,0)$ पर केंद्र और $2$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। समीकरण $(2)$ केंद्र $C(2,0)$ और $2$ त्रिज्या वाला वृत्त है।समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर:$(x-2)^{2}+y^{2}=x^{2}+y^{2}$$x^{2}-4x+4+y^{2}=x^{2}+y^{2}$$4x=4 \implies x=1$$x=1$ को $(1)$ में रखने पर,$1+y^{2}=4 \implies y^{2}=3 \implies y=\pm \sqrt{3}$.प्रतिच्छेदन बिंदु $A(1, \sqrt{3})$ और $A'(1, -\sqrt{3})$ हैं।अभीष्ट क्षेत्रफल $x$-अक्ष के सापेक्ष सममित है,इसलिए क्षेत्रफल $= 2 	imes 	ext{प्रथम चतुर्थांश में } OACA'O 	ext{ का क्षेत्रफल}$.क्षेत्रफल $= 2 \left[ \int_{0}^{1} \sqrt{4-(x-2)^{2}} dx + \int_{1}^{2} \sqrt{4-x^{2}} dx ight]$सूत्र $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} dx = \frac{x}{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2}\sin^{-1}(\frac{x}{a})$ का उपयोग करने पर:क्षेत्रफल $= 2 \left[ \left( \frac{x-2}{2}\sqrt{4-(x-2)^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x-2}{2}) ight)_{0}^{1} + \left( \frac{x}{2}\sqrt{4-x^{2}} + 2\sin^{-1}(\frac{x}{2}) ight)_{1}^{2} ight]$$= 2 \left[ \left( (-\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(-\frac{1}{2})) - (-\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(-1)) ight) + \left( (0 + 2\sin^{-1}(1)) - (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 2\sin^{-1}(\frac{1}{2})) ight) ight]$$= 2 \left[ (-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3} + \sqrt{3} + \pi) + (\pi - \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{3}) ight]$$= 2 \left[ \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3} ight] = \frac{8\pi}{3} - 2\sqrt{3}$.

दो वृत्तों $x^{2}+y^{2}=4$ और $(x-2)^{2}+y^{2}=4$ के बीच घिरे क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

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