રેખા x=frac{a}{sqrt{2}} દ્વારા કાપવામાં આવતા | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) રેખા $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ દ્વારા કાપવામાં આવતા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ના નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં વર્તુળ અને રેખા દ્વાર

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{a^{2}}{2}\left(\frac{\pi}{2}-1\right)$

Vedclass · Answer

(A) રેખા $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ દ્વારા કાપવામાં આવતા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ના નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ અને ચોથા ચરણમાં વર્તુળ અને રેખા દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ છે.વર્તુળ $x$-અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,કુલ ક્ષેત્રફળ એ પ્રથમ ચરણમાં રહેલા પ્રદેશના ક્ષેત્રફળ કરતા બમણું થશે.ક્ષેત્રફળ $= 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a} y \, dx = 2 \int_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a} \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx$સૂત્ર $\int \sqrt{a^{2}-x^{2}} \, dx = \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:ક્ષેત્રફળ $= 2 \left[ \frac{x}{2} \sqrt{a^{2}-x^{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{x}{a}\right) \right]_{\frac{a}{\sqrt{2}}}^{a}$$= 2 \left[ \left( 0 + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1}(1) \right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \sqrt{a^{2}-\frac{a^{2}}{2}} + \frac{a^{2}}{2} \sin^{-1} \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \right) \right]$$= 2 \left[ \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{2}\right) - \left( \frac{a}{2\sqrt{2}} \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} + \frac{a^{2}}{2} \left(\frac{\pi}{4}\right) \right) \right]$$= 2 \left[ \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{4} - \frac{a^{2}\pi}{8} \right] = 2 \left[ \frac{2a^{2}\pi - a^{2}\pi}{8} - \frac{a^{2}}{4} \right] = 2 \left[ \frac{a^{2}\pi}{8} - \frac{a^{2}}{4} \right] = \frac{a^{2}\pi}{4} - \frac{a^{2}}{2} = \frac{a^{2}}{2} \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$.

રેખા $x=\frac{a}{\sqrt{2}}$ દ્વારા કાપવામાં આવતા વર્તુળ $x^{2}+y^{2}=a^{2}$ ના નાના ભાગનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

Similar Questions

પરવલય $y^{2}=8x$ અને તેના નાભિલંબ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વર્તુળ $(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 32$ નો રેખા $y = x + 1$ ની નીચે આવેલો ભાગનું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

વક્રો $y=(x+1)^2, y=(x-1)^2$ અને રેખા $y=\frac{1}{4}$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ (ચોરસ એકમમાં) કેટલું છે?

પ્રથમ ચરણમાં વર્તુળ $x^2+y^2=16$ અને રેખાઓ $x=0$ તથા $x=4$ દ્વારા આવૃત પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ . . . . . . ચોરસ એકમ છે। ($\pi$ માં)

પરવલય $y = 4x^2$,$y$-અક્ષ અને રેખાઓ $y = 1$ તથા $y = 4$ દ્વારા ઘેરાયેલું ક્ષેત્રફળ કેટલું છે?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module