वक्र y = cos(x + y),-2pi leq x leq 2pi के लिए | vedclass

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Question

(A) दिया गया वक्र $y = \cos(x + y)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y)(1 + \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।$\frac{dy}{dx}$

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$2x + 4y + 3\pi = 0$ और $2x + 4y - \pi = 0$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया वक्र $y = \cos(x + y)$ है। $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dx} = -\sin(x + y)(1 + \frac{dy}{dx})$ प्राप्त होता है।$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर,$\frac{dy}{dx} = \frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)}$ प्राप्त होता है।रेखा $x + 2y = 0$ की ढाल $-\frac{1}{2}$ है।चूंकि स्पर्श रेखाएं दी गई रेखा के समांतर हैं,इसलिए $\frac{-\sin(x + y)}{1 + \sin(x + y)} = -\frac{1}{2}$,जिसका अर्थ है $2\sin(x + y) = 1 + \sin(x + y)$,अतः $\sin(x + y) = 1$ है।इस प्रकार,$x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।तब $y = \cos(x + y) = \cos(2n\pi + \frac{\pi}{2}) = 0$ है।$x + y = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ में $y = 0$ रखने पर,$x = 2n\pi + \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ के लिए,$x$ के संभावित मान $x = \frac{\pi}{2}$ ($n=0$ के लिए) और $x = -\frac{3\pi}{2}$ ($n=-1$ के लिए) हैं।स्पर्श बिंदु $(\frac{\pi}{2}, 0)$ और $(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ हैं।$(\frac{\pi}{2}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{2}(x - \frac{\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y - \pi = 0$ है।$(-\frac{3\pi}{2}, 0)$ पर स्पर्श रेखा का समीकरण $y - 0 = -\frac{1}{2}(x + \frac{3\pi}{2}) \Rightarrow 2x + 4y + 3\pi = 0$ है।

वक्र $y = \cos(x + y)$,$-2\pi \leq x \leq 2\pi$ के लिए उन स्पर्श रेखाओं के समीकरण ज्ञात कीजिए जो रेखा $x + 2y = 0$ के समांतर हैं।

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