वक्रों y^{2}=x और x^{2}=y के प्रतिच्छेदन कोण | vedclass

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Question

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=x$ और $x^{2}=y$ हैं। इन समीकरणों को हल करने पर,$y=x^{2}$ को $y^{2}=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(x^{2})^{2}=x \Rightarrow x^{4}

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$\frac{\pi}{2}, 	an^{-1}(\frac{3}{4})$

Vedclass · Answer

(A) दिए गए वक्र $y^{2}=x$ और $x^{2}=y$ हैं। इन समीकरणों को हल करने पर,$y=x^{2}$ को $y^{2}=x$ में प्रतिस्थापित करने पर,$(x^{2})^{2}=x \Rightarrow x^{4}-x=0$ प्राप्त होता है। $x(x^{3}-1)=0$,इसलिए $x=0$ या $x=1$ है। $x=0$ के लिए $y=0$ और $x=1$ के लिए $y=1$ है। प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ और $(1,1)$ हैं। $y^{2}=x$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $2y \frac{dy}{dx}=1$,इसलिए $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2y}$ प्राप्त होता है। $x^{2}=y$ के लिए,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर $\frac{dy}{dx}=2x$ प्राप्त होता है। बिंदु $(0,0)$ पर,$y^{2}=x$ की ढाल अपरिभाषित (ऊर्ध्वाधर) है और $x^{2}=y$ की ढाल $0$ (क्षैतिज) है। अतः,प्रतिच्छेदन कोण $\frac{\pi}{2}$ है। बिंदु $(1,1)$ पर,$y^{2}=x$ की ढाल $m_{1} = \frac{1}{2(1)}=\frac{1}{2}$ और $x^{2}=y$ की ढाल $m_{2} = 2(1)=2$ है। उनके बीच का कोण $	heta$ सूत्र $	an 	heta = |\frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}}| = |\frac{2-1/2}{1+(2)(1/2)}| = |\frac{3/2}{2}| = \frac{3}{4}$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$	heta = 	an^{-1}(\frac{3}{4})$ है। प्रतिच्छेदन कोण $\frac{\pi}{2}$ और $	an^{-1}(\frac{3}{4})$ हैं।

वक्रों $y^{2}=x$ और $x^{2}=y$ के प्रतिच्छेदन कोण ज्ञात कीजिए।

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