બિંદુ $(3,2)$ માંથી પસાર થતી અને રેખા $x-2y=3$ સાથે $45^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવતી રેખાનું સમીકરણ શોધો.

ધારો કે જરૂરી રેખાનો ઢાળ $m_{1}$ છે.
આપેલ રેખા $x-2y=3$ છે,જેને $y=\frac{1}{2}x-\frac{3}{2}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આપેલ રેખાનો ઢાળ $m_{2}=\frac{1}{2}$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે. બે રેખાઓ જેના ઢાળ $m_{1}$ અને $m_{2}$ હોય તેમની વચ્ચેના ખૂણાનું સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_{2}-m_{1}}{1+m_{1}m_{2}} \right|$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{1}{2}-m_{1}}{1+m_{1}(\frac{1}{2})} \right|$.
$1 = \left| \frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} \right|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $I$: $\frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} = 1$ $\Rightarrow 1-2m_{1} = 2+m_{1}$ $\Rightarrow 3m_{1} = -1$ $\Rightarrow m_{1} = -\frac{1}{3}$.
કિસ્સો $II$: $\frac{1-2m_{1}}{2+m_{1}} = -1$ $\Rightarrow 1-2m_{1} = -2-m_{1}$ $\Rightarrow m_{1} = 3$.
$m_{1} = 3$ માટે,$(3,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = 3(x-3)$ $\Rightarrow y-2 = 3x-9$ $\Rightarrow 3x-y = 7$ છે.
$m_{1} = -\frac{1}{3}$ માટે,$(3,2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y-2 = -\frac{1}{3}(x-3)$ $\Rightarrow 3y-6 = -x+3$ $\Rightarrow x+3y = 9$ છે.
આમ,રેખાઓના સમીકરણો $3x-y=7$ અને $x+3y=9$ છે.