अवकल समीकरण frac{dy}{dx} = sin^{-1} x का व्या | vedclass

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Question

(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x$ दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y = \int \sin^{-1} x \, dx$ खंडशः समाकलन (I

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$y = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C$

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(A) दिया गया अवकल समीकरण है: $\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x$ दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $y = \int \sin^{-1} x \, dx$ खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = \sin^{-1} x$ और $dv = dx$ लें। तब $du = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। $y = x \sin^{-1} x - \int x \cdot \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ मान लीजिए $t = 1 - x^2$,तो $dt = -2x \, dx$,जिसका अर्थ है $x \, dx = -\frac{1}{2} dt$। $y = x \sin^{-1} x - \int \frac{-1/2}{\sqrt{t}} dt$ $y = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt$ $y = x \sin^{-1} x + \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C$ $y = x \sin^{-1} x + \sqrt{t} + C$ $y = x \sin^{-1} x + \sqrt{1 - x^2} + C$

अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \sin^{-1} x$ का व्यापक हल ज्ञात कीजिए।

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