વિકલ સમીકરણ x frac{dy}{dx} + 2y = x^2 log x ન | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ છે. $x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$. આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py

Vedclass · Accepted Answer

$y = \frac{1}{16} x^2 (4 \log x - 1) + Cx^{-2}$

Vedclass · Answer

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ છે. $x$ વડે ભાગતા: $\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x} y = x \log x$. આ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = \frac{2}{x}$ અને $Q = x \log x$. સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P dx} = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log x} = e^{\log x^2} = x^2$. વ્યાપક ઉકેલ: $y(IF) = \int (Q 	imes IF) dx + C$. કિંમતો મૂકતા: $y \cdot x^2 = \int (x \log x \cdot x^2) dx + C = \int x^3 \log x dx + C$. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા: $\int x^3 \log x dx = \log x \cdot \frac{x^4}{4} - \int (\frac{1}{x} \cdot \frac{x^4}{4}) dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{1}{4} \int x^3 dx = \frac{x^4 \log x}{4} - \frac{x^4}{16} + C$. તેથી,$x^2 y = \frac{x^4}{16} (4 \log x - 1) + C$. $x^2$ વડે ભાગતા,વ્યાપક ઉકેલ: $y = \frac{1}{16} x^2 (4 \log x - 1) + Cx^{-2}$ મળે છે.

વિકલ સમીકરણ $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2 \log x$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Similar Questions

$x \frac{dy}{dx} + 3y = x^2$ નું સંકલ્યકારક અવયવ (Integrating Factor) શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \left(\frac{3x^2}{1+x^3}\right)y = \frac{1}{x^3+1}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module