બિંદુ $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ થી સમતલ $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ પરના લંબની લંબાઈ અને લંબપાદ શોધો.

(A) આપેલ સમતલનું સમીકરણ $2x - 2y + 4z + 5 = 0$ છે ... $(i)$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = 2\hat{i} - 2\hat{j} + 4\hat{k}$ છે.
બિંદુ $P\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-1}{2} = \frac{y-3/2}{-2} = \frac{z-2}{4} = \lambda$ છે.
આમ,આ રેખા પરનું કોઈપણ બિંદુ $x = 2\lambda + 1$,$y = -2\lambda + \frac{3}{2}$,અને $z = 4\lambda + 2$ સ્વરૂપમાં મળે.
જો આ બિંદુ સમતલ પર હોય,તો તે સમતલના સમીકરણનું સમાધાન કરે:
$2(2\lambda + 1) - 2(-2\lambda + \frac{3}{2}) + 4(4\lambda + 2) + 5 = 0$
$4\lambda + 2 + 4\lambda - 3 + 16\lambda + 8 + 5 = 0$
$24\lambda + 12 = 0 \Rightarrow 24\lambda = -12 \Rightarrow \lambda = -\frac{1}{2}$.
$\lambda = -\frac{1}{2}$ મુકતા,લંબપાદ $\left(2(-\frac{1}{2}) + 1, -2(-\frac{1}{2}) + \frac{3}{2}, 4(-\frac{1}{2}) + 2\right) = \left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$ મળે.
લંબની લંબાઈ એ $\left(1, \frac{3}{2}, 2\right)$ અને $\left(0, \frac{5}{2}, 0\right)$ વચ્ચેનું અંતર છે:
$d = \sqrt{(1-0)^2 + (\frac{3}{2} - \frac{5}{2})^2 + (2-0)^2} = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$ એકમ.