फलन $f(x)=(x-2)^{4}(x+1)^{3}$ के लिए निम्नलिखित बिंदु ज्ञात कीजिए:
$(i)$ स्थानीय उच्चतम
$(ii)$ स्थानीय निम्नतम
$(iii)$ नति परिवर्तन बिंदु

(A) दिया गया फलन $f(x)=(x-2)^{4}(x+1)^{3}$ है।
सबसे पहले,गुणन नियम का उपयोग करके अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = 4(x-2)^{3}(x+1)^{3} + 3(x+1)^{2}(x-2)^{4}$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} [4(x+1) + 3(x-2)]$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} (4x + 4 + 3x - 6)$
$f'(x) = (x-2)^{3}(x+1)^{2} (7x - 2)$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें क्रांतिक बिंदु $x = 2$,$x = -1$,और $x = \frac{2}{7}$ प्राप्त होते हैं।
इन बिंदुओं के आसपास $f'(x)$ के चिह्न का विश्लेषण करने पर:
$1$. $x = 2$ के लिए: जैसे ही $x$,$2$ को पार करता है,$f'(x)$ ऋणात्मक से धनात्मक हो जाता है,इसलिए $x = 2$ स्थानीय निम्नतम बिंदु है।
$2$. $x = \frac{2}{7}$ के लिए: जैसे ही $x$,$\frac{2}{7}$ को पार करता है,$f'(x)$ धनात्मक से ऋणात्मक हो जाता है,इसलिए $x = \frac{2}{7}$ स्थानीय उच्चतम बिंदु है।
$3$. $x = -1$ के लिए: जैसे ही $x$,$-1$ को पार करता है,$f'(x)$ का चिह्न नहीं बदलता है (क्योंकि $(x+1)^{2}$ हमेशा गैर-ऋणात्मक है),इसलिए $x = -1$ नति परिवर्तन बिंदु है।
अतः:
$(i)$ स्थानीय उच्चतम $x = \frac{2}{7}$ पर है।
$(ii)$ स्थानीय निम्नतम $x = 2$ पर है।
$(iii)$ नति परिवर्तन बिंदु $x = -1$ पर है।