फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{यदि } x < 0 \\ x + 1, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$ के असांतत्य के बिंदुओं को ज्ञात कीजिए।

(NONE) दिया गया फलन $f(x) = \begin{cases} \frac{\sin x}{x}, & \text{यदि } x < 0 \\ x + 1, & \text{यदि } x \ge 0 \end{cases}$ है।
यह स्पष्ट है कि $f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर परिभाषित है।
माना $c$ एक वास्तविक संख्या है।
स्थिति $I$: यदि $c < 0$ है,तो $f(c) = \frac{\sin c}{c}$ और $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} \left( \frac{\sin x}{x} \right) = \frac{\sin c}{c}$ है।
चूंकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए $f$ सभी $x < 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $II$: यदि $c > 0$ है,तो $f(c) = c + 1$ और $\lim_{x \to c} f(x) = \lim_{x \to c} (x + 1) = c + 1$ है।
चूंकि $\lim_{x \to c} f(x) = f(c)$ है,इसलिए $f$ सभी $x > 0$ के लिए संतत है।
स्थिति $III$: यदि $c = 0$ है,तो $f(0) = 0 + 1 = 1$ है।
$x = 0$ पर वाम पक्ष सीमा $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} \frac{\sin x}{x} = 1$ है।
$x = 0$ पर दक्षिण पक्ष सीमा $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (x + 1) = 1$ है।
चूंकि $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 1$ है,इसलिए $f$ बिंदु $x = 0$ पर संतत है।
उपरोक्त अवलोकनों से,$f$ वास्तविक संख्या रेखा के सभी बिंदुओं पर संतत है। अतः,$f$ का कोई असांतत्य बिंदु नहीं है।