उस श्रेणी के n पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका | vedclass

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Question

(A) $n^{th}$ पद $a_n = (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$ है। योग के सूत्रों $\sum

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$\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$

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(A) $n^{th}$ पद $a_n = (2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1$ है। $n$ पदों का योग $S_n = \sum_{k=1}^n a_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 4k + 1)$ है। योग के सूत्रों $\sum k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$,$\sum k = \frac{n(n+1)}{2}$,और $\sum 1 = n$ का उपयोग करते हुए: $S_n = 4 \left[ \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right] - 4 \left[ \frac{n(n+1)}{2} \right] + n$ $S_n = \frac{2n(n+1)(2n+1)}{3} - 2n(n+1) + n$ $S_n = n \left[ \frac{2(2n^2+3n+1) - 6(n+1) + 3}{3} \right]$ $S_n = n \left[ \frac{4n^2 + 6n + 2 - 6n - 6 + 3}{3} \right]$ $S_n = n \left[ \frac{4n^2 - 1}{3} \right] = \frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$.

उस श्रेणी के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए जिसका $n^{th}$ पद $(2n-1)^2$ द्वारा दिया गया है।

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मान लीजिए $n \geq 1$ के लिए $S_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} \cdot k^2$ है। यदि $n = 1, 2, 3, \ldots$ के लिए $S_{2n} = -n(2n+1)$ दिया गया है,तो $S_{77} =$

$2.5 + 5.9 + 8.13 + 11.17 + \ldots$ $10$ पदों तक $=$

अनुक्रम $\frac{1}{3}, \frac{5}{9}, \frac{19}{27}, \frac{65}{81}, \ldots$ के प्रथम $100$ पदों के योग से छोटा या उसके बराबर महत्तम पूर्णांक ज्ञात कीजिए।

यदि $n$ सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या है जिसके लिए $n+2n+3n+\ldots+99n$ एक पूर्ण वर्ग है,तो $n^2$ के अंकों की संख्या क्या है?

श्रेणी $9+99+999+\ldots$ के प्रथम $10$ पदों का योग क्या है?

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