જો વિધેય $f(t) = t^3 - 6t^2 + pt + q$ એ અંતરાલ $[1, 3]$ પર રોલનું પ્રમેયનું પાલન કરતું હોય અને $c = \frac{2\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}$ હોય,તો $p$ અને $q$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ એવું છે કે $f(0)=0$ અને તમામ $x$ માટે $|f^{\prime}(x)| \leq 5$ છે. તો $f(1)$ એ ... માં છે.

દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $2a+3b+6c=0$ અને ધારો કે $g(x)=\frac{ax^3}{3}+\frac{bx^2}{2}+cx$.
વિધાન-$I$ : આપેલ દ્વિઘાત સમીકરણ $ax^2+bx+c=0$ ને $(0,1)$ માં ઓછામાં ઓછું એક બીજ છે.
વિધાન-$II$ : $[0,1]$ પર $g(x)$ માટે રોલનું પ્રમેય લાગુ પડે છે.
તો

વિધેય $f(x)=x$ માટે અંતરાલ $[2,5]$ પર લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ પાડતા $C$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી મળે?

વિધેય $f(x) = \begin{cases} x \sin \frac{\pi}{x} & \text{માટે } x > 0 \\ 0 & \text{માટે } x = 0 \end{cases}$ ધ્યાનમાં લો. તો $(0, 1)$ માં એવા બિંદુઓની સંખ્યા કેટલી છે જ્યાં વિકલિત $f'(x)$ શૂન્ય થાય?

ધારો કે $f''(x)$ તમામ વાસ્તવિક $x$ માટે અસ્તિત્વ ધરાવે છે. જો $f(2) = 2$,$f(3) = 5$ અને $f(4) = 10$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન ચોક્કસપણે સાચું છે?